RUANG VEKTOR

Opersi  di R2 dan R3

Misalkan V adalah himpunan dimana operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Penjumlahan vektor

Dalam penjumlahan dua buah vektor ada dua metode yang digunakan, yaitu:

  1. Metode Jajar Genjang

Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan berimpit.

2.  Metode Segitiga

resultan diperoleh dengan menetapkan titk awal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik awal a dan bertitik ujung di titik ujung b

perkalian dengan skalar


Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan arahnya sama dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif.  Bila k = 0 maka ka =0 disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.

Susunan Koordinat Ruang-n

a. Ruang dimensi satu (R1)

Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1),  P( 2/5 ) artinya P mewkili bilangan 2/5 dan kita letakkan P sehingga OP = satuan ke arah E (arah positif).

b.  Ruang dimensi dua (R2)

Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua, ditulis R2.


c.  Ruang dimensi tiga (R3)


Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam Rn dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil.  Misalnya titik X(x1, x2, …,xn)

Setiap elemen-elemen x , y di dalam V, kita dapat mengasosiasikannya dengan elemen x dan y yang tunggal juga berada di V, dengan setiap skalar <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> , kita dapat mengasosiasikannya denga  elemen  <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> x yang tunggal di dalam V. himpunan V bersama-sam dengan operasi penjumlahan dan perkalian  dengan skalar  dikatakan membentuk suatu ruang vector jika aksioma-aksioma berikut terpenughi.

x + y = y + x untuk setiap x dan y di V

(x + y) + z = x + ( x + y) untuk setiap x, y, z di V

Terdapat elemen 0 di V sehngga x + 0 = x untuk setiap x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> V.

Untuk setiap x Є V terdapat elemen –x di V sehingga  x + (-x) = 0.

<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> (x +y) = <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> x + <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> y untuk setiap skalar  <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> dan setiap x, y di V

<!–[if gte msEquation 12]>(<![endif]–> + <!–[if gte msEquation 12]>β<![endif]–> ) x = <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> x +<!–[if gte msEquation 12]> β<![endif]–> x untuk setiap sakalar <!–[if gte msEquation 12]>β, <![endif]–> dan setiap x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> V

<!–[if gte msEquation 12]>(β )<![endif]–> x = <!–[if gte msEquation 12]> <![endif]–> (<!–[if gte msEquation 12]> βx<![endif]–> ) untuk setiap scalar <!–[if gte msEquation 12]>β, <![endif]–> dan setiap x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> V

<!–[if gte msEquation 12]>1.x<![endif]–> = x untuk setiap x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> V

Untuk    R2 maka x = <!–[if gte msEquation 12]>x1x2<![endif]–> , y = <!–[if gte msEquation 12]>y1y2<![endif]–> dan z = <!–[if gte msEquation 12]>z1z2<![endif]–> .

R3 maka x = <!–[if gte msEquation 12]>x1x2x3<![endif]–> , y = <!–[if gte msEquation 12]>y1y2y3<![endif]–> dan z = <!–[if gte msEquation 12]>z1z2z3<![endif]–> .

Sifat-Sifat Operasi

Teorema.

Jika V adalah ruang vektor dan x adalah sebarang elemen dari V, maka

0x = 0

X + y = 0 berakibat y = -x (artinya penjumlahan dari x adalah tunggal)

(-1)x = -x

Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik awal a dan bertitik ujung di titik ujung b

2 responses to “RUANG VEKTOR”

  1. kazwini13 says :

    terimakasih post nya

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s