GRUP SIKLIK DAN ISOMORFISMA

1.      GRUP SIKLIK

Perhatikan a = (1364) anggota S6, telah ditentukan pada pertemuan sebelumnya, bahwa :

Jika hasil perpangkatan dari a dihimpun, maka diperoleh {a, a2, a3, a4} = {(1), (1364), (16)(34), (1463)}adalah merupakan grup yang dibangun oleh a, yang selanjutnya disebut dengan grup siklik, sebagaimana definisi berikut :

Definisi.: Grup Siklik

Suatu grup G disebut grup siklik jika terdapat a anggota G sehingga setiap x anggota G selalu berlaku x = am untuk suatu bilangan bulat m. selanjutnya elemen a disebut generator atau pembentuk G.

Contoh :

  1. H = { (1); (123); (132) } anggota  S3 yang merupakan grup.

Perhatikan bahwa :

(123)2 = (132); (123)3 = (1) maka H = {(123), (123)2 = (132), (123)3 = (1)} maka H merupakan grup siklik dengan generator (123).

  1. G = {1, -1, i, -i } dengan i = akar(-1) maka G juga merupakan grup siklik dengan pembangun i, sebab : i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1
  2. K = {(1), (1 2)} juga merupakan grup siklik dengan pembangun (1 2)
  3. S3 bukan grup siklik karena tidak memuat pembangun

Teorema :

Jika G grup siklik dengan pembangun a maka a-1 juga pembangun dari G

Teorem :

Jika G grup siklik dengan pembangun a dan p(a) = n maka a0, a1, a2, …, an-1 adalah n buah elemen dalam G yang saling berbeda.

Teorema :

Misalkan G grup siklik dengan pembangun a dan o(G) = n. elemen at anggota G juga pembangun dari G dengan 0 < t < n jika dan hanya jika (n,t) = 1

Catatan :

(n,t) = 1 dibaca n dan t saling prima artinya n dan t tidak saling merupakan faktor.

Teorema :

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif tetapi tidak sebaliknya

2.         ISOMORFISMA

Pemetaan linier  f : V→W yang bersifat satu-satu dan pada kita sebut isomofisma. Dua ruang vektor  V dan W dikatakan isomorf, kita tulis VW , jika terdapat isomorfisma f : V→W.

Atau dengan kata lain:

Isomorfisma adalah homomorfisma grup  f : V→W yang bersifat satu-satu dan pada, dimana pemetaan dari grup V  ke dalam grup W , yaitu  f : V→W, disebut homomorfisma  grup jika untuk setiap unsur a dan b di V berlaku f(ab)=f(a)f(b).

Sifat:

Misalkan f : V→W suatu isomorfisma grup. Maka pemetaan balikan g : W →V  juga suatu isomorfisma grup.

Akibat dari sifat tesebut adalah untuk dua grup seperti dalam hal sifat tersebut maka kita punyai definisi berikut:

Dua grup f dan g dikatakan isomorf jika  terdapat isomorfisma grup f : W→V.

Pandang V suatu ruang vektor yang berdimensi n atas lapagan F, dan misalkan X = {x1, x2, x3, … , xn} suatu basis dari V. setiap vector a V dapat kita tulis secara tungal sebagai

a= (α1x1, α2x2, α3x3,… αnxn)

dengan   F. maka terhadap basis X, vektor a berkorespondensi dengan satu dan hanya satu matriks kolom, yaitu matriks n x 1,1, α2, α3,… αn), yang komponennya terdiri atas koefisien vector a. matrik kolom ini kita sebut koordinat vector a terhadp basis X, dan kita tandai dengan [a]x. jadi [a]x =1, α2, α3,… αn) .

Berkaitan dengan pengertian kita punyai sifat berikut.

Sifat:

Misalkan V suatu ruang vector berdimensi n atas lapangan F, dan X suatu basis dari V. maka pengaitan fx : a ke [a]x, untuk semua vector a V, mendifinisikan isomorfisma fx : V Fn­­­­.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s