MODEL MATEMATIKA PELUNCURAN BOM DARI PESAWAT

KHASUS

Sebuah roket ditembakan dari sebuah pesawat terbang yang melaju dengan kecevatan v dan ketinggian h. jika sebuah bom dijatuhkan ke bawah secara vertical oleh pesawat tersebut, susunlah model matematika yang mengambarkan gerak jatuhnya bom tersebut!

SOLUSI

Untitled

Asumsi-asumsi yang diabaikan dalam menyelesaikan permasalahan di atas:

  1. Bom jatuh vertikal dari pesawat dimana kecepatan meluncurnya pesawat tidak mempengaruhi perubahan jatuh vertikal dari bom ke permukaan tanah.

  2. Permasalahan ini akan diselesaikan dalam 2 khasus berdasarkan asumsi berikut

  1. Jatuhnya bom dari pesawat ke permukaan tanah tidak dipengaruhi oleh gesekan udara

  2. Jatuhnya bom dari pesawat ke permukaan tanah dipengaruhi oleh gesekan udara.

Penjelasan Gesekan Udara Diabaikan Dan Tidak Diabaikan

  1. Jatuhnya Bom Dari Pesawat Tidak Dipengaruhi Oleh Gesekan Udara

Screenshot

Berdasarkan Hukunm Newton II

\sum F=ma

Beradasarkan Gambar. 2, gaya W birnilai positif karena gaya W dan gerak jatuh bom searah. Kemudian disubsitusikan gaya-gaya yang bekerja dan dapat disedehanakan sebagai berikut:

\Leftrightarrow W= ma

\Leftrightarrow mg= m\frac{dv}{dt}

\Leftrightarrow g= \frac{dv}{dt}

\Leftrightarrow \int dv= \int gdt

Dipeloleh kecepatan bom terhadap waktu

v(t)=gt+v_{0}

Dari persamaan kecepatan di atas ke-2 ruas diintegralkan

\Leftrightarrow \frac{dh}{dt}=gt+v_{0} \Leftrightarrow \int dh=\int (gt+v_{0})dt

maka diperoleh posisi jarak bom terhadap waktu

h(t)=\frac{1}{2}gt^{^{2}}+v^{_{0}}t+h_{0}

Dimana:

g  = gravitasi benda (m/s2)

 t= waktu  (sekon)

v0=kecepatan awal bom dilepas (m/s)

m= massa bom (kg)

h= Jarak jatuh bom (m)

h0= ketingian awal (m)

2. Jatuhnya Bom Dari Pesawat Dipengaruhi Oleh Gesekan Udara

Untitled

Persamaan umum gaya gesekkan udara adalah

F_{g}=k\eta v

Dimana:

k= konstanta yang bergantung bentuk benda, diasumsikan bom yang dijatuhkan berbentuk  bola, maka k=6\pi r

\eta= koefisien viskositas, dalam msalah ini adalah udara, yang nilainya 1,8 x 10-5  kg/ms.

untuk mengetahui koefisien viskositas yang lainnya bisa ke link ini:  http://wongcilikjr.blogspot.com/2012/03/daftar-koefisien-viskositas.html

Jadi dari rumus di atas kita memperoleh beberapa prinsip, yaitu :

  • Gesekan udara bergantung bentuk benda
  • Gesekan udara bergantung kekentalan udara saat itu (Nilainya tentu berbeda tergantung suhu, ketinggian, tekanan udara, dll.)
  • Gesekan udara bergantung pada kecepatan benda, semakin cepat benda bergerak, maka gaya gesekan akan semakin besar

Berdasarkan Gambar. 3 dimana gaya W bom bernilai positif karena arahnya searah dengan arah bom sedangkan untuk gaya gesek (F_{g} ) bernilai negatif karena menghambat jatuhnya bom. Maka berdasarkan Hukum Newton II dapat disusun persamaan sebagai berikut

\sum F=ma

Kemudian disubsitusikan gaya-gaya yang bekerja dan dapat disedehanakan sebagai berikut:

\Leftrightarrow W-F_{g}=ma \Leftrightarrow mg-k\eta v=m\frac{dv}{dt} \Leftrightarrow \frac{1}{mg-k\eta v}dv=\frac{1}{m}dt \Leftrightarrow \int \frac{1}{mg-k\eta v}dv=\int \frac{1}{m}dt \Leftrightarrow -\frac{1}{k\eta }ln(mg-k\eta v)=\frac{1}{m}t+C \Leftrightarrow mg-k\eta v=e^{-\frac{k\eta }{m}+C} \Leftrightarrow v(t)=\frac{mg-Ce^{-\frac{k\eta }{m}t}}{k\eta }

Karena khasusunya gerak jatuh bebas maka v(0)=0 sehingga diperoleh C=mg

Sehingga persamaan kecepatan jatuhnya bom dari pesawat terhadap waktu adalah

v(t)=\frac{mg}{k\eta }(1-e^{-\frac{k\eta }{m}t})

Untuk menentukan posisi jarak terhadap waktu dengan cara yang sama maka diperoleh posisi jarak bom pada titik dijatuhkan terhadap waktu

h(t)=\frac{mn}{k}t-m^{\frac{2g}{(k\eta )^{2}}}(1-e^{-\frac{k\eta }{m}t})

Tag:, , , , , ,

2 responses to “MODEL MATEMATIKA PELUNCURAN BOM DARI PESAWAT”

  1. brakhmad says :

    trims bro tipsnya, sangat bermanfaat untuk ku

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s